标准数独完全教程慕容漪汐 著内 容 提 要这是一本专门为标准数独爱好者创作的技巧书，作者慕容漪汐从最后一数、行列排除法等数独的基本方法入手，过渡到交叉区块、隐性数组等进阶方法，对于数独高手在比赛中常用的一些高级技巧，比如链、基础鱼结构、欠一类技巧等也结合实例进行了详细的解读。本书体例丰富，不仅有结合图示的技巧详细讲解，还有针对性的练习题；除了拓展阅读专栏外，还有技巧提炼。与一般数独类图书只提供题目和答案不同，作者不仅提供了有唯一解的题目，还列出了解题的参考要点和图示，帮助数独爱好者抓住关键点，克服卡点，顺利解题，从而逐步提高解题速度和准确度。图书在版编目（CIP）数据标准数独完全教程／慕容漪汐著. —北京：中国纺织出版社有限公司，2021.11ISBN 978-7-5180-8858-4Ⅰ. ①标… Ⅱ. ①慕… Ⅲ. ①智力游戏—教材 Ⅳ.①G898.2中国版本图书馆CIP数据核字（2021）第181616号责任编辑：郝珊珊 责任校对：高 涵 责任印制：储志伟中国纺织出版社有限公司出版发行地址：北京市朝阳区百子湾东里A407号楼 邮政编码：100124销售电话：010—67004422 传真：010—87155801http://www.c-textilep.com中国纺织出版社天猫旗舰店官方微博 http://weibo.com/2119887771三河市延风印装有限公司印刷 各地新华书店经销2021年11月第1版第1次印刷开本：710×1000 1/16 印张：10.５字数：166千字 定价：48.00元凡购本书，如有缺页、倒页、脱页，由本社图书营销中心调换前言 PREFACE数独是一种风靡世界的智力游戏，据传为欧拉设计的作品，但具体起源未知。笔者倾向于认为这是多种智力游戏及数学游戏经过长时间融合、演变后的结果。这种智力游戏受到全世界人民的喜爱，在各类书籍、杂志，甚至各类试题中，都存在其身影。基础规则：在空格内填入 1~9，使得每行、列、宫内数字不重复。每格内只能填入一个数字。关于数独，有如下几个概念：1. 行横着的叫作行，从上到下分别用字母 A~I 表示，由于 I 容易与数字 1 混淆，因此在有些图书中，会以 A~H 及 K 表示行，如下图所示。也有用字母 R（Row）加数字的形式表示行，如 R5 为第五行。2. 列竖着的叫作列，从左到右分别用数字 1~9 表示。在有些图书中，可能用 C（Column）加数字的形式表示列。1标准数独完全教程3. 宫每个粗线围成的部分叫作一宫，宫用汉字表示。九个宫的命名如下图所展示。标有数字 3 的为第三宫，以此类推。4. 大行 / 大列相邻且能组成三个宫的三行为一个大行，例如 A、B、C 行构成一个大行，同理，相邻且能组成三个宫的三列为一个大列，例如 7、8、9 列。5. 单元格、坐标每一个小方格叫作单元格，拥有自己的坐标。行名称 + 列名称，即为格子坐标，如 E2 表示第 5 行第 2 列。若用 RC 法表示，则为 R5C2。6. 共轭共轭是指与指定格相关联，但由于规则不能相同的格子。例如下图中，灰色格子与 B2 共轭，所以其全部不是数字 1。2前 言7. 初盘、终盘、解、已知数初盘指题目初始的样子，终盘指题目解答完毕的样子，如下图所示。广义上一个初盘可能有多个终盘，但此类题目会被认为是不合格的。通常所指的数独是在指定规则内拥有唯一终盘的初盘题目，这样的唯一终盘称作题目的解，制作数独时，除符合规则外，最基本的要求是“唯一解”。已知数广义上为所有已经确定的数字，包括初盘给出的和已经确认填入的。狭义上只包括初盘给定的数字，上图题目已知数为 28 个。已知数的个数及位置，在绝大多数情况下与题目难度无关。注：若要使得标准数独题目拥有唯一解，至少需要 17 个已知数。3目录 CONTENTS第一章 基本方法.................................................................. 001CHAPTER 1第一节 最后一数、二余法 .......................................................002第二节 宫内排除法..................................................................006专栏 1 一刀流数独............................................................................011第三节 行列排除法..................................................................015第四节 唯一余数法..................................................................020专栏 2 点算与候选数........................................................................022专栏 3 解的构成——排除解与唯余解.............................................023第二章 进阶方法.................................................................. 029CHAPTER 2第一节 区块排除法..................................................................030第二节 区块唯余法..................................................................036第三节 交叉区块.....................................................................041第四节 组合区块法..................................................................044专栏 4 区块排除与行列排除的转化.................................................050第五节 隐性数对.....................................................................051第六节 隐性数组.....................................................................0581标准数独完全教程第七节 显性数对.....................................................................064第八节 显性数组.....................................................................070专栏 5 为什么没有五数组？............................................................076第九节 唯一性技巧..................................................................077专栏 6 唯一矩形的拓展....................................................................083专栏 7 数独之耻与多解题的判定.....................................................084第三章 高级技巧.................................................................. 091CHAPTE1 1第一节 链 ...............................................................................092第二节 X-wing.......................................................................102第三节 基础鱼结构..................................................................106第四节 XY-wing 类结构.........................................................112第五节 Remote Pair..............................................................120第六节 XYZ-wing..................................................................124第七节 Y-wing.......................................................................128第八节 XYX 链.......................................................................131第九节 欠一类技巧..................................................................133专栏 8 已知数、图案与难度............................................................141结语 数独爱好者如何选择自己的方向？ ..................................144附录 答案 ...............................................................................1462第一章基本方法标准数独完全教程第一节最后一数、二余法数独最基础的方法叫作最后一数（Full House），即一个区域内，已知了 8个数字，留下一个空白单元格未知时，可以将其补满。我们可以观察下图的案例，这是一道简单的题目。观察发现，第五宫内只有一个空格，这个宫内已经出现了 1、2、4、5、6、7、8、9 这 8 个数字，空格里只能填入剩下的数字 3。002第一章 基本方法在 E5 中填入 3 后，我们再来看第一行。第一行也有且仅有一个空格，我们数了数这一行已知的数字，发现这个格子也只能填入数字 3。同理我们也能填入 I4。观察第四列和第六列，我们也能填出余下的空格内的数字。003标准数独完全教程填好一部分数字之后，我们会发现此时任一行、列、宫，未知的格子都有两个或更多。此时，最后一数这一技巧需要做出一定变化，我们需要寻找缺少两个数字的行、列、宫，对其进行判断。例如第一列，经过数数后，发现这一列缺少的数字是 2 和 9。之后我们可以观察到，E1 格所在的行内有数字 9，因此 E1 ≠ 9，E1=2。通过数行、列、宫内缺少的两个数字，进而寻找突破口的方法，叫作二余法。最后一数和二余法是最基础的方法，任何题目到最后阶段都要使用这两种方法。本题也可继续利用最后一数的方法解开，终盘如下所示。004第一章 基本方法练习1以下题目仅用最后一数法及二余法即可解开。请利用最后一数法及二余法解开题目。★ 解题要点：（方法不唯一，仅供参考）第一题 第二题解题要点：利用二余法观察第三宫 解题要点：利用二余法观察第二宫005标准数独完全教程第二节宫内排除法数独的基本思路有两种，其中一种是判断某格中应该填哪个数字，例如前文所述的最后一数法。另一种方法是判断某个数字应当填在哪里。我们首先应以宫为观察对象，寻找某个数字在某个宫内的位置。观察下图例题，在学习过程中，我们可以按照从 1~9 的数字顺序进行寻找。先观察数字 1 可能存在的位置，由于规则要求，每行、列、宫中的数字不重复，因此一个已知数 1 可以排除它所在行、列、宫内的数字 1，如下图所示。对第九宫进行观察，我们发现该宫有 5 个待定格，其中 4 格都不可能是 1，1 只能在星格 H8。006第一章 基本方法同理可以排除得到第六宫的 1，继而得到第四宫的 1。之后可以利用此方法得到所有的 1。接下来我们可以切换视角观察其余数字。以数字 2 为观察对象，可以逐步解开所有 2。007标准数独完全教程同理也可解开所有 3、4、5，然后慢慢解开其余数字。填完 1~8 后，数字 9 只能填在每个宫余下的唯一空格中。这样的情况算是排除法的特殊情况（没有排除线的排除法），但要注意的是“数字只能填在某个位置”与最后一数章节提到的“某格只能是某个数”仍然有本质上的区别。008第一章 基本方法以宫为观察对象，用排除法找到某个数字在宫内的唯一可能位置的方法叫作宫内排除法。利用宫内排除法解题时，大多数情况不能从 1 开始连续排除到 9，更多的情况是通过观察决定目标数字，再对这个数字进行观察。有时候观察某个数字时，能解开一部分宫内该数字的位置，但不能将这个数字在九个宫内的位置完全确定。判定哪个、哪些数字需要观察，何时应该切换目标数字，是解题时的基本功，对顺利完成各种题目而言都非常重要。从下题我们可以对一些宫内排除法的视角进行讨论。运用宫内排除法时，我们前期可以在大行或大列中，寻找仅出现两次的某个数字，并且在该数字未出现的那个宫里，寻找该数字的排除，如下面左图所示。这样的排除有很多种。当然，除了这一类情况之外，另有一种排除是由两个不在同一大行、大列的数字，对于同一个宫排除形成，这种情况也不可以忽略，如下面右图所示。运用宫内排除法时，如果已有一定的基础，可以尝试同时观察不止一个数字的排除。以数字 5 为观察对象，可以排除得到第一宫的数字 5，如下面左图所示。009标准数独完全教程接下来可以通过数字 4 的排除得到第一宫中 A1=4。我们可以切换视角进行观察，数字 4、5 同时对于第一宫进行排除，结合 F1 的 5，得到 A3=5，A1=4。利用排除法解题时，要养成好习惯：如果排除法解开了一个数字，尽可能寻找这个数字在其余宫内的排除情况。以 5 和 9 为例，下图为将所有宫内的 5 和 9都补充完整的盘面。本题终盘如下。这一题是常见的标准数独，利用宫内排除法可以解开。利用宫内排除法解题时，也可以与最后一数、二余法等方法相结合，切换视角进行观察。010第一章 基本方法排除法不需要对于格子进行数数，有些学习者会对此类方法有所偏好。需要注意的一点是，进行宫内排除法之前，一定要确认目标的宫里是否有目标数字，否则容易出现错误的排除。这个问题在一些刚刚接触数独的儿童身上较为常见，在练习时一定要加以警惕。专 栏 1 一 刀 流 数 独在解标准数独题目时，有一类题目能从数字 1 开始排除，解开所有的 1，之后是所有的 2，所有的 3……一直到解开所有的 9。这样的题目叫做一刀流数独，练习这一类题目对于熟悉排除法有非常大的帮助。不是所有的标准数独都可以用一刀流的方法来解决，有的题目里已知数没有 1，有的题目里第一步需要排除 9。中国台湾的谢道台老师对排除法可解的数独进行了研究，一部分题目通过 1~9 排除后，仍然无法解题，需要再从 1~9 开始再次排除，排除两轮后可以解开的题目为二刀流数独。经过不懈的研究与创作，他发现了一些需要排除 8 圈的八刀流数独题目。在练习排除法时，一刀流数独是一种很好的练习方式。在实际解题时，寻找排除法可以优先选择出现次数较多的数字进行观察。011标准数独完全教程技 巧 提 炼以宫为对象进行观察，找到某个数字在某个宫内的唯一可能位置的方法，叫作宫内排除法。右图中可用宫内排除法解出一宫的 1 在 A3，六宫的 1 在 D8。寻找宫内排除法时，优先观察在一大行 / 大列中出现两次的数字、出现次数较多的数字等，也可以从 1~9 开始循环寻找。有时也有从不同方向对于同一个宫进行排除的情况，也可以同时观察不止一个数字的排除。每解开一个数字，需要尽量找一找该数字在其余格是否有排除。可能有一部分数字不能被全部解开，此时可以转向观察其余数字。右图为用宫内排除法找 1的位置的例子。012第一章 基本方法练习2请利用宫内排除法解开以下题目。★ 解题要点：（方法不唯一，仅供参考）第一题 第二题解题要点：数字 5 对第五宫进行排 解题要点：数字 8 对第七宫进行排除，得到第五宫的 5 在 F6。 除，得到第七宫的 8 在 I1。第三题 第四题解题要点：数字 3 对第五宫进行排 解题要点：数字 8 对第三宫进行排除，得到第五宫的 3 在 E5。 除，得到第三宫的 8 在 B9。013标准数独完全教程第五题解题要点：数字 3 对第九宫进行排除，得到第九宫的 3 在 G9。014第一章 基本方法第三节行列排除法前文提到了宫内排除法。实际上在观察排除法时，有时利用宫内排除法无法完全解开题目，需要以行列为观察对象进行观察。我们以下题为例讨论行列排除法。以宫内排除法按照 1~9 的顺序进行排除，排除到数字 6 时，我们可以得到B8=6，其余格内 6 的可能位置如下面左图所示。此时，利用宫内排除法不可能确定其余格内 6 的位置，每个宫内都有不止一个可能性。切换至行列的视角进行观察，第六列的 6 只能在 H6，如下面右图所示。这样的排除方式以行列为核心，叫做行列排除法。在无法利用宫内排除法解开数字时，需要切换视角用行列排除进行观察。015标准数独完全教程继续解此题，仍需进行行列排除。行列排除情况比较复杂，可能有多个距离较远的数字对于同一行列进行排除，对于观察力的要求较高。经过多次排除后，逐渐能解开题目，终盘如右下图所示。016第一章 基本方法技 巧 提 炼在标准数独排除法中，除了宫外，还可以以行列为观察对象。以行列为观察对象，找到某个数在某个行列中唯一可能的位置的方法，叫做行列排除法。右图为行列排除法示意图，第七行的数字 1 只能在 G3。017标准数独完全教程练习3请利用行列排除法完成以下题目。★ 解题要点：（方法不唯一，仅供参考）第一题 第二题
